\subsection*{Linearisering}

Idet formel \eqref{eq:gtheta-final} er ulineær er det nødvendigt at linearisere udtrykket. Der er valgt at gøre dette ved brug af en første ordens tayĺorapproksimation.

\textbf{Bestemmelse af arbejdspunktværdier}\\
Arbejdspunktet er valgt til når lasten hænger i stilstand, hvilket vil sige:

\begin{itemize}
 \item $\theta_{\text{last}} = 0$
 \item $\dot{\theta}_{\text{last}} = 0$
 \item $\dot{l}_{\text{s}} = 0$
 \item $\ddot{x}_{\text{slæde}} = 0$
\end{itemize}

Dette arbejdspunkt er valgt da lasten vil svinge omkring 0, og punktet er derfor der lasten vil befinde sig det meste af tiden. Ligning \eqref{eq:arbejdspunkt} gælder derfor i arbejdspunktet.

\begin{IEEEeqnarray}{rCl}
 \ddot{\theta}_{\text{last}} = 0 \label{eq:arbejdspunkt}
\end{IEEEeqnarray}

\textbf{Bestem taylorrække approksimation}\\
Alle ulineære led er tilnærmet ved brug af en første ordens taylorrække approksimation.
\begin{IEEEeqnarray*}{rCl}
- \frac{\psi \cdot \dot{\theta}_\text{last}(t)}{M_\text{last} \cdot l_{s}^{2}(t)}
&\approx& \frac{\psi \cdot \bar{\dot{\theta}}_{\text{last}}}{M_{\text{last}} \cdot \bar{l}^{2}_{\text{s}}} + \frac{\psi}{M_{\text{last}} \cdot \bar{l}^{2}_{\text{s}}} \cdot \hat{\dot{\theta}}_{\text{last}}(t) - \frac{2 \cdot \psi \cdot \bar{\dot{\theta}}_{\text{last}}}{M_{\text{last}} \cdot \bar{l}^{3}_{\text{s}}} \cdot \hat{l}_{\text{s}}(t) 
%& \approx & - \frac{\psi}{M_\text{last} \cdot \bar{l_{s}}^{2}} \cdot \hat{\dot{\theta}}(t) 
\\
\\
\\
- \frac{\ddot{x}_{\text{slæde}}(t) \cdot \cos\left(\theta_{\text{last}}(t)\right)}{l_{\text{s}}(t)} &\approx& -\frac{\bar{\ddot{x}}_{\text{slæde}} \cdot \cos(\bar{\theta}_{\text{last}})}{\bar{l}_{\text{s}}} - \frac{\cos(\bar{\theta}_{\text{last}})}{\bar{l}_{\text{s}}} \cdot \hat{\ddot{x}}_{\text{slæde}}(t) + \frac{\bar{\hat{x}}_{\text{slæde}} \cdot \sin(\bar{\theta}_{\text{last}})}{\bar{l}_{\text{s}}} \cdot \hat{\theta}_{\text{last}}(t) \\  &&+ \frac{\bar{\ddot{x}}_{\text{slæde}} \cdot \cos(\bar{\theta}_{\text{last}})}{\bar{l}^{2}_{\text{s}}} \cdot \hat{l}_{\text{s}}(t)
%& \approx & -\frac{\cos(\bar{\theta}_{\text{last}})}{\bar{l}_{\text{s}}} \cdot \hat{\ddot{x}}_{\text{slæde}}(t)
\\
\\
\\
- \frac{2 \cdot \dot{l}_{\text{s}}(t) \cdot \dot{\theta}_{\text{last}}(t)}{l_{\text{s}}(t)} &\approx& - \frac{2 \cdot \bar{\dot{l}}_{\text{s}} \cdot \bar{\theta}_{\text{last}}}{\bar{l}_{\text{s}}} - \frac{2 \cdot \bar{\dot{l}}_{\text{s}}}{\bar{l}_{\text{s}}} \cdot \hat{\dot{\theta}}_{\text{last}}(t) - \frac{2 \cdot \bar{\dot{\theta}}_{\text{last}}}{\bar{l}_{\text{s}}} \cdot \hat{\dot{l}}_{\text{s}}(t) + \frac{\bar{\dot{l}}_{\text{s}} \cdot \bar{\dot{\theta}}_{\text{last}}}{\bar{l}_{\text{s}}} \cdot \hat{l}_{\text{s}}(t) %& \approx & 0
\\
\\
\\
- \frac{g \cdot \sin(\theta_{\text{last}}(t))}{l_{\text{s}}(t)} &\approx& - \frac{g \cdot \sin(\bar{\theta}_{\text{last}})}{\bar{l}_{\text{s}}} + \frac{g \cdot \sin(\bar{\theta}_{\text{last}})}{2 \cdot \bar{l}_{\text{s}}} \cdot \hat{l}_{\text{s}}(t)  - \frac{g \cdot \cos(\bar{\theta}_{\text{last}})}{\bar{l}_{\text{s}}} \cdot \hat{\theta}_{\text{last}}(t) %& \approx & - \frac{g \cdot \cos(\bar{\theta}_{\text{last}})}{\bar{l}_{\text{s}}} \cdot \hat{\theta}_{\text{last}}(t)
\end{IEEEeqnarray*}
Arbejdspunktsværdierne er herefter indsat.
\begin{IEEEeqnarray*}{rcl}
\frac{\psi \cdot \bar{\dot{\theta}}_{\text{last}}}{M_{\text{last}} \cdot \bar{l}^{2}_{\text{s}}} + \frac{\psi}{M_{\text{last}} \cdot \bar{l}^{2}_{\text{s}}} \cdot \hat{\dot{\theta}}_{\text{last}}(t) - \frac{2 \cdot \psi \cdot \bar{\dot{\theta}}_{\text{last}}}{M_{\text{last}} \cdot \bar{l}^{3}_{\text{s}}} \cdot \hat{l}_{\text{s}}(t) 
&~=~& - \frac{\psi}{M_\text{last} \cdot \bar{l_{s}}^{2}} \cdot \hat{\dot{\theta}}(t) \\\\\\
-\frac{\bar{\ddot{x}}_{\text{slæde}} \cdot \cos(\bar{\theta}_{\text{last}})}{\bar{l}_{\text{s}}} - \frac{\cos(\bar{\theta}_{\text{last}})}{\bar{l}_{\text{s}}} \cdot \hat{\ddot{x}}_{\text{slæde}}(t) &&\\ + \frac{\bar{\hat{x}}_{\text{slæde}} \cdot \sin(\bar{\theta}_{\text{last}})}{\bar{l}_{\text{s}}} \cdot \hat{\theta}_{\text{last}}(t) + \frac{\bar{\ddot{x}}_{\text{slæde}} \cdot \cos(\bar{\theta}_{\text{last}})}{\bar{l}^{2}_{\text{s}}} \cdot \hat{l}_{\text{s}}(t)
&~=~& -\frac{1}{\bar{l}_{\text{s}}} \cdot \hat{\ddot{x}}_{\text{slæde}}(t) \\\\\\
- \frac{2 \cdot \bar{\dot{l}}_{\text{s}} \cdot \bar{\theta}_{\text{last}}}{\bar{l}_{\text{s}}} - \frac{2 \cdot \bar{\dot{l}}_{\text{s}}}{\bar{l}_{\text{s}}} \cdot \hat{\dot{\theta}}_{\text{last}}(t) - \frac{2 \cdot \bar{\dot{\theta}}_{\text{last}}}{\bar{l}_{\text{s}}} \cdot \hat{\dot{l}}_{\text{s}}(t) + \frac{\bar{\dot{l}}_{\text{s}} \cdot \bar{\dot{\theta}}_{\text{last}}}{\bar{l}_{\text{s}}} \cdot \hat{l}_{\text{s}}(t) &~=~& 0 \\\\\\
- \frac{g \cdot \sin(\bar{\theta}_{\text{last}})}{\bar{l}_{\text{s}}} + \frac{g \cdot \sin(\bar{\theta}_{\text{last}})}{2 \cdot \bar{l}_{\text{s}}} \cdot \hat{l}_{\text{s}}(t)  - \frac{g \cdot \cos(\bar{\theta}_{\text{last}})}{\bar{l}_{\text{s}}} \cdot \hat{\theta}_{\text{last}}(t) &~=~& - \frac{g}{\bar{l}_{\text{s}}} \cdot \hat{\theta}_{\text{last}}(t)
\end{IEEEeqnarray*}
Alle lineærer led og approksimerede led sættes sammen for at give en lineær beskrivelse, som vist i ligning \eqref{eq:linbeskrivelse}.
\begin{IEEEeqnarray}{rCl}
 \ddot{\theta}_{\text{last}}(t) \approx - \frac{g}{\bar{l}_{\text{s}}} \cdot \hat{\theta}_{\text{last}}(t) - \frac{1}{\bar{l}_{\text{s}}} \cdot \hat{\ddot{x}}_{\text{slæde}}(t) - \frac{\psi}{M_\text{last} \cdot \bar{l_{s}}^{2}} \cdot \hat{\dot{\theta}}_{\text{last}}(t) \label{eq:linbeskrivelse}
\end{IEEEeqnarray}

Der ønskes at finde en overføringsfunktion fra hastighed på motoren til snorens vinkel. Udtryk \eqref{eq:linbeskrivelse} er derfor laplacetransformeret og isoleret så der findes et udtryk for vinklen i forhold til hastigheden, som i ligning \eqref{eq:linoverforing}.
%NOTE: Her er overføringsfunktionen, jeg kan se det bliver det samme som de andre gruppers så det er jo heldigt nok, hold øje med det er et standard anden ordens hvor vi kan udlede snorlængdens virkning og friktionen, når jeg lige ser det synes jeg det virker realistisk i forhold til hvad de forskellige elementer bevirker \fixme{AKS: skal sjovt nok slettes og er godt nok træt :-(}

\begin{IEEEeqnarray}{lCr}
\label{eq:linoverforing}
\frac{\Theta (s)}{\dot{X}(s)} = \frac{- \frac{1}{\bar{l}_{\text{s}}} \cdot s}{s^{2} + \frac{\psi}{M \cdot \bar{l_{s}}^{2}} \cdot s + \frac{g}{\bar{l}_{\text{s}}}}
\end{IEEEeqnarray}